d'après Jean-Yves Girard, "L'idée d'incomplétude", in Sciences et Avenir numéro spécial : Les grandes idées du siècle, décembre 1999 / janvier 2000
Voir aussi Douglas Hofstadter "Esher Gëdel Bach; les brins d’une guirlande éternelle "

• Discours de la méthode de Descartes : positivisme
• Le logicien Alfred Tarski a un point de vue réaliste : le monde exter dont nous sommes parti et observateur est stable. Une formule est donc vrai ou fausse et seulement démontrable ou non démontrable.
• Leibniz : "Calculus combinatore" (?) dans "art combinatoire" : essai de résolution des imprécisions et ambiguités dues à l'autoréférencement
• Kurt Gödel (1906-1978) démontre en 1931 les deux théorèmes d'incomplétude
  • Gödel dit qu'un système ne peut pas se justifier lui-même... même si on complète le système (si on corrige les bogues d'un programme le système reste toujours bogué...)
  • Ces démonstrations ne s'appliquent pas simplement aux mathématiques mais à toute approche déductive pouvant se baser sur un processus formel

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel

• L'incomplétude, l'impossibilité d'une autojustification, pour qu'elle fasse sens, requière la précision des systèmes formels
• Ces théorèmes ne sont vrais que si la précision est absolue - formelle (que si les systèmes sont suffisament complets comme se veut les mathématiques)

Premier théorème : non décidabilité (incomplétude)

Un énoncé peut être vrai mais non démontrable (c'est une forme développée du paradoxe du menteur d'Epimenide le crétois : "tous les crétois sont des menteurs). Il avait déjà été remarqué par Cantor au XIXème siècle. "comment savoir qaund une recherche de démonstration n'en finit plus qu'elle va donner une réponse plus tard, dans une heure ou dans un siècle ?"

Deuxième théorème : Cohérence limitée

la cohérence de la vérité et de la démontrabilité est limité car contradictoire : On ne peut construire une démonstration de la cohérence d'une théorie T dans cette théorie.

Définition

• cohérence : on ne peut déduire à la fois A et non A
• complétude : Pour tout système A de T on peut démontrer A ou non A
• Système formel : dispositif d'engendrer les théorèmes à partir des axiomes grâce à des règles opératoires spécifiées

Remarques

• C'est l'échec de l'absolutisme du formalisme. (mais par exemple en politique, la principale vertue est-elle d'être cohérent ?)On essaie d'éviter l'autoréférence en science - par exemle en ethnologie, en politique... - mais elle est partout
  
• C'est la fin du déterminisme où tous les états ultérieurs sont entièrement déterminés par les conditions initiales

Jean-Yves Girard : "loin de nous désoler que Gödel nous éloigne de la solution finale, réjouissons nous de l'espace qu'il laisse à la créativité"
Attention le changement de paradigme n'est une abolition du rationnel et une porte ouverte à l'irrationnel : le non cartésianisme n'est pas l'anti-cartésianisme.

Rubrique : complexité, demains - indéterminisme,  

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Par J-M Cornu | Avant | 26/12/2004 12:07 | Après | Complexité | aucun commentaire | Lu 8354 fois |